Technique opératoire : la division euclidienne

La division euclidienne

Sans faire une théorie sur la division des nombres entiers avec quotient et reste (division euclidienne), voici quelques considérations et notations que nous utiliserons assez souvent.

La division euclidienne fait intervenir 2 nombres (dividende et diviseur) et donne 2 résultats (quotient et reste).

125 = 7 x 16 + 6

Suivant le problème posé, on peut s'intéresser à un seul des deux résultats ou aux deux :

Exemples :

- Je partage mes 15 chocolats entre mes 4 meilleurs copains et je mange ceux qui restent.

Dans ce cas, les deux résultats sont intéressants : le nombre de chocolats récupéré par chacun de mes copains, le nombre que je vais manger.

- Un magasin donne un quatrième paquet gratuit pour trois achetés.

Le nombre important est celui des paquets gratuits, seul le quotient nous intéresse. Pour 9, 10 ou 11 paquets achetés, le nombre de gratuits est le même : 3.
L'opération qui à deux entiers fait correspondre leur quotient entier est la division entière , elle est souvent notée div. On écrira par exemple : 11 div 3 = 3

- On lance une roue de loterie comportant 36 graduations, elle tourne de 200 graduations avant de s'arrêter.

200 = 36 x 5 + 20 ; la roue a fait trois tours et 20 graduations. Dans ce cas, seule la position finale est importante car c'est elle qui définit le lot, si la roue avait effectué un ou deux tours de plus (236 ou 272 graduations), le lot serait le même. Elle aurait même pu ne tourner que de 20 graduations, le reste de la division.
200, 236, 272, 20 donnent le même résultat, on dit que 200, 236, 272 sont congrus (équivalents) à 20 modulo 36.
On écrira : 200 mod 36 = 20.

Une propriété des modulos est très utile et souvent utilisée :

Si deux nombres sont congrus modulo n, leur somme et leur différence le sont également.

On utilise souvent cette propriété en remplaçant un nombre par son modulo dans une opération où seul le reste nous intéresse.